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第五节 精馏过程的物料衡算和塔板数的计算

一、理论塔板

连续精馏计算的主要对象是精馏塔的理论塔板数。所谓的理论塔板是指气液在塔板上充分接触，有足够长的时间进行传热传质，当气体离开塔板上升时与离开塔板下降的液体已达平衡，这样的塔板称为理论塔板。实际上，由于塔板上气液接触的时间及面积均有限，因而任何形式的塔板上气液两相都难以达到平衡状态，也就是说理论塔板是不存在的，它仅是一种理想的板，是用来衡量实际分离效率的依据和标准。通常在设计中先求出按生产要求所需的理论塔板数N_T然后用塔板效率η予以校正，即可求得精馏设备中的实际塔板数N_P

二、计算的前提

由于精馏过程是涉及传热、传质的复杂过程，影响因素众多。为处理问题的方便作如下假设，这些就是计算的前提条件。
（1）塔身对外界是绝热的，即没有热损失。
（2）回流液由塔顶全凝器供给，其组成与塔顶产品相同。
（3）塔内上升蒸气由再沸器加热馏残液使之部分气化送入塔内而得到。
（4）恒摩尔气化在精馏操作时，在精馏段内，每层塔板上升的蒸气的摩尔流量都是相等的，提馏段内也是如此，即：
精馏段：V₁= V₂= …………＝Ｖ_n= Vmol/s(下标为塔板序号，下同）
提馏段：Ｖ′_n+1=V′_n+2=…………＝ V′_m = V′mol/s
但Ｖ_n不一定与Ｖ′_m相等，这取决于进料状态。
（５）恒摩尔溢流（或称为恒摩尔冷凝）　精馏操作时，在精馏段内每层塔板下降的液体的摩尔流量都是相等的，提馏段也是如此，
即：Ｌ₁= L₂=…………= L_n = L mol/s
L′_n+1 = L′_n+2 =………… = L′_m = L′ mol/s
但Ｌ不一定与Ｌ′相等，这也取决于进料的状态。
（６）塔内各塔板均为理论塔板。

三、物料衡算和操作线方程

１、全塔物料衡算

图4-10 全塔物料衡算示意图

如图４－１０所示，设入塔进料流量为Ｆ，轻组分含量为x_F,塔顶产量流量为Ｄ，轻组分含量为x_D,塔底产品流量为Ｗ，轻组分含量为x_w，流量单位均为mol/s，含量均为摩尔分率。
则全塔物料衡算式为：
总物料：Ｆ＝Ｄ＋Ｗ　（４－１０）
轻组分：Ｆx_F=Dx_D+wx_W (4-11)
通过对全塔的物料衡算，可以求出精馏产品的流量、组成和进料流量、组成之间的关系。通常Ｆ、x_F、x_Ｄ、x_Ｗ已知，将（４－１０）、（４－１１）两式联立求解得：

在精馏计算中，分离程度除用两种产品的摩尔分率表示外，有时还用回收率φ表示，即：
塔顶轻组分的回收率φ=Dx_D/Fx_F×100% (4-14）

例4-1 每小时将1500kg含苯40%和甲苯60%的溶液，在连续精馏塔中进行分离，要求釜残液中含苯不高于2%（以上均为质量百分效），塔顶馏出液的回收率为97.1%。操作压强为1atm。试求馏出液和釜残液的流量及组成，以kmol/h表示。

解：苯的分子量为78；甲苯的分子量为92。
进料组成x_F=(40/78)/{(40/78)+(60/92)}=0.44
釜残液组成 x_W=(2/78)/{(2/78)+(98/92)}=0.0235
原料液的平均分子量为：M_F=0.44×78+0.56×92=85.8kg/kmol
进料量 F=1500/85.8=175.0kmol/h
从题意知：

所以 Dx_D=0.971×175.0×0.44...................................(a)

全塔物料衡算为：

D+W=175.0.........................................(b)

全塔苯的衡算为：

Dx_D+Wx_W=175.0×0.44.....................(c)

联立（a）(b)(c)解得：
W=95.0kmol/h
D=80.0kmol/h
x_D=0.935

2、精馏段物料衡算和精馏段操作线方程
如图4-11所示.

图4-11 精馏段物料衡算示意图

对精馏段第n+1板以上作物料衡算得：
总物料：V=L+D （4-15）
轻组分：Vy_n+1=Lx_n+Dx_D (4-16)
将式（4-16）代入式（4-15）整理得：

式（4-19）是以回流比R表示的精馏段中，从第（n+1）块塔板上升的蒸气的组成（y_n+1）与第n块（即相邻上一块板）塔板下降的液体的组成（x_n）之间的关系。在连续稳定的精馏操作中，L、V、D、x_D均为定值，故式（4-7）和式（4-19）均为直线方程。该直线斜率为R/（R+1），截距为x_D/(R+1)。由于R=L/D可由人为操作来确定，因而式（4-7）和式（4-19）又称为精馏段操作线方程。

将式（4-19）与y=x联解，得精馏段操作线与对角线（即y=x）的交点坐标为（x_D、x_D）。这样的可方便地用两点式将精馏段操作线绘在x-y相图上。如图4-12所示。

图4-12 精馏段操作线

先在x-y图上找到点A（x_D、x_D），再找至点C（0、x_D/(R+1)）.连AC。则直线AC为操馏段操作线。
3、提馏段物料衡算和提馏段操作线方程

图4-13 提馏段物料衡算示意图

如图4-13所示，对提馏段第m板以下作物料衡算得：
总物料：L′=V′+W （4-20）
轻组分：L′x_m=V′y_m+1+Wx_W (4-21)
由式（4-21）有：

由式（4-20）移项：V′=L′- W
将上式代入式（4-22）得：

式（4-22）和式（4-23）为提馏段操作线方程，它表示提馏段内任意相邻的两块塔板之间，上升蒸气和下降液体组成之间的操作关系。与精馏段操作线方程类似，当连续精馏塔正常操作时，L′、V′、W和x_W均为定值，故式（4-22）和式（4-23）为一直线方程。该直线的斜率为L′/（L′-W），截距为-W/（L′-W）。它与对角线y=x 有一交点B，B点的坐标为（x_W,x_W）。提馏段操作线在 x-y图上的作法将在下面的内容中述及。

4、泡点进料线

进料的热状况影响到精馏塔内气、液的流量，从而与操作线方程密切相关。所谓的进料热状况包括以下五种不同的情况，即：（1）温度低于泡点的冷液体；（2）温度等于泡点的饱和液体，又称为泡点进料；（3）饱和气、液混合物，温度介于泡点与露点之间；（4）温度等于露点的饱和蒸汽，又称露点进料；（5）温度高于露点的过热蒸气。以上五种不同的进料热状况中，以泡点进料最为常见，本课程只讨论这种进料热状况。

当泡点进料时，精馏段操作线方程仍为式（4-18）（为简便略去下标）：

而提馏段操作线方程（4-22）中，由于是泡点进料，进塔的物料F全部是液体，它与精馏段下降的液体L合在一起，成为提馏段下降的液体，因而是（F+L）=L′，提馏段内上升的蒸气V′与精馏段是一致的，即V′=V，故（4-22）可写为：

将(a)(b)联立求解，也就是求精馏段操作线与提馏段操作线的交点（即将（a）(b)右端相等，写成等式化简）有：
Fx=Dx_D+Wx_W
全塔总物料衡算式为：
Fx_F=Dx_D+Wx_W
两式相比较显然可得：x=x_F (4-24)

式（4-24)显然也是直线方程，它是通过点(x_F，0),垂直于x轴的一条直线。得到的结论是：精馏段操作线与提馏段操作线的交点在直线x=x _F上，也就是这三条线有一个共同的交点。利用这个特殊的交点，可方便地作出提馏段操作线。直线x=x_F称为泡点进料线。

泡点进料时，提馏段操作线作法如下：
作精馏段操作线AC
作泡点进料线，即过点（0，x_F）作横轴的垂线，如图4-14所示，与AC交于d。

图4-14 泡点进料线及提馏段操作线

确定点B（x_W,x_W）,连Bd,则直线Bd为提馏段操作线。
精馏段操作线，提馏段操作线，泡点进料线应用于图解法求理论塔板数。

5、泡点进料时的操作线方程

泡点进料时，由于进料全部是温度为泡点的饱和液体，因而对精馏段的气、液流量均无影响，故精馏段的操作线方程仍为：

即式（4-19），今后操作线方程均略去下标，记住y的下标为(n+1)时，x的下标为n, 两者相差1。
此时提馏段的方程为：

而F=D+W，即W=F-D代入上式得：

上式右端x、x_W两项的分子分母同时除以D，有：

令：f=F/D f----单位馏出液所需的进料量
则上式为：

式（4-25）为以R、f表示的泡点进料时的提馏段操作线方程。

四、精馏塔理论塔板数Ｎ_T的确定

确定精馏塔理论塔板数的方法有三种，即逐板法，图解法和捷算法。先介绍逐板法和图解法。

１、逐板法求Ｎ_T（或称为逐板计算法）　这种反复地运用气液平衡关系式和操作线方程进行逐板计算的方法，是一种最基本，最准确的方法。工艺设计时，Ｆ、x_F、x_D、x_W已知，则Ｄ、Ｗ可算出，选定Ｒ，泡点进料，逐板法计算Ｎ_T的步骤如下：
从上而下组成均为轻组分
精馏段：（１）由于塔顶是全凝器，因而x_D=y₁;

(2)第一块理论板上，y₁ 与　x₁ 达气液相平衡，据式（４－８）有：

（３）x₁与y₂之间为精馏段操作关系，由精馏段操作线方程式（４－１９）有：

（４）反复（２）、（３）的步骤，直至x_n≤x_F,此时，精馏段已算完，由于每使用一次气液平衡关系式，就有一块理论塔板，而第n块为进料板，不属于精馏段，因而精馏段理论塔板数为（n-1)块。
提馏段：
（１）由精馏段结束时知，第n块（即提馏段第一块）理论板下降的液体的组成为x_n;
(2)y_n+1与x_n的关系为提馏段操作关系，由提馏段操作线方程（４－２５）有：

（３）在第（n+1)块理论板上，y_n+1与x_n+1，达平衡，即：

（４）反复（２）、（３）的步骤，直至x_m≤x_W，此时，提馏段已全部算完。
由于再沸器是起着部分气化的作用，它也算一块理论板，因而提馏段的理论塔板数为：（m-1)-(n-1)=(m-n)块
显然，全塔的理论塔板数N_T=(m-1)块（不含再沸器）。

例４－２　苯－甲苯混合液，含苯５０％（mol%)，用精馏分离。要求塔顶产品组成x_D=0.95,塔底产品组成x_W=0.05,选用Ｒ＝２.0,泡点进料，α＝2.45, 试用逐板法求Ｎ_T。
解：（１）列出计算式：
（a）气液平衡关系式　

（b)精馏段操作线方程，已知x_D=0.95,R=2.0,所以：

＝0.667x+0.317

(c)提馏段操作线方程
设Ｆ＝100mol/s ,根据式（４－１２）

f=F/D=100/50=2.0
泡点进料时提馏段操作线方程为式（４－２５）

（２）用逐板法计算理论塔板数

(a) 精馏数
第一块板：因y₁=x_D=0.95
x₁=y₁/(2.45-1.45y₁)=0.95/(2.45-1.45×0.95) =0.886
第二块板：y₂=0.667x₁+0.317=0.908
如此逐板求得精馏段各塔板的y和x列表如下：

塔板数	1	2	3	4	5
y	0.95	0.908	0.851	0.784	0.715
x	0.886	0.801	0.700	0.597	0.506

(b)提馏段
由于x_F=0.50，而x₅=0.506，故第五块板以后改用提馏段操作线方程计算。
第6块板：y₆=0.33x₅-0.017=1.33×0.506-0.017=0.685
x₆=y₆/(2.45-1.45y₆)=0.658/(2.45-1.45×0.658)=0.440
如此逐板求得提馏段各塔板的y和x列表如下：

塔板数	6	7	8	9	10	11
y	0.658	0.569	0.449	0.315	0.194	0.101
x	0.440	0.350	0.249	0.158	0.089	0.044

x₁₁=0.044 ＜x_w=0.05
故：N_T=11-1=10块（不含再沸器）

2、图解法求理论塔板数N_T

图解法是应用塔内的气液相平衡关系和操作关系，在y-x图上作图的方法来求理论塔板数的。它与逐板计算法本质上相同，其图解程序为：
（1）根据被分离混和液的气液相平衡关系或实验数据，在y-x 图上作出平衡曲线，并画出对角线，如图4-15所示。

图4-15 图解法求理论塔板数

（2）根据已知的工艺条件，在y-x图上作出精馏段和提馏段的操作线（包括进料线）。
（3）利用已作出的图从塔顶向下逐板图解。在塔顶y₁=x_D,而y₁与x_D又属操作关系，所以y₁和x_D是精馏段操作线与对角线交点（A）的坐标。而y₁和x₁成平衡关系，应在平衡线上。于是通过A点作x轴的水平线与平衡线交于点1，其横坐标即为x₁。x₁ 和y₂是操作关系，应在操作线上，因此过点1作x轴的垂线与操作线交于点1，其纵坐标即为y₂。由此可以看出，在平衡线和操作线间构成的这个阶梯，其垂直高度(1-1)正好表示了气相中易挥发组分的浓度经过一块理论板的变化；其水平线的距离（1-A）也正好表示了液相中易挥发组分的浓度经过一块理论板的变化。

依据上述同样道理，继续在平衡线与精馏段操作线之间作阶梯。当作到水平线跨越两操作线交点d时，其垂直线应落到提馏段操作线上，而后在平衡线和提馏段操作线间向下作阶梯，直作到x_n等于或跨过x_w为止，则阶梯的个数就是理论塔板数。跨越两操作线交点d的那个阶梯就是加料板的位置。这样求出的理论塔板数，因x_n≤x_w,所以n包括塔釜这块理论板。
图解常用于只有平衡数据的场合。

例4-3 用图解法求例4-2中的N_T。
解：（1）作苯-甲苯的x-y图
根据：

可令x= 0.1、0.2、……、0.9，算得相应的y值。将点描在图上，再把所有的点用一条光滑的曲线连上，该曲线即为气液平衡线。
（2）在图上确定点A（x_D,x_D)、点B（x_W,x_W)、点C（0，x_D/R+1)即A（ 0.95，0.95）、B(0.05,0.05)、 C(0,0.317)。
（3）连AC得精馏段操作线，过点（0.50，0）作x轴的垂线，交AC于d点，连Bd 得提馏段操作线。
（4）从A点开始，在平衡线和操作线中作阶梯，图解求得精馏所需理论塔板数为11。减去再沸器充当的一块理论板，故N_T=10块，与逐板法的结果完全一致。
整个图解过程如图4-16所示。

液相中易挥发组分(苯)含量x,mol%

图4-16 例4-3 图解求N_T