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第二节
流体静止的基本方程
一、流体的基本性质
1、流体的密度
单位体积流体所具有的质量称为流体的密度。其数学表达式为：
ρ=M/V
（2--1）
式中： ρ-----流体的密度，kg/m3；
M-----流体的质量，kg；
V-----流体的体积，m3；
流体的密度一般可在物理化学手册或有关资料中查得，如果查得的数据不是以SI制表示的，可换算为SI制。
液体的密度：
a.纯液体的密度ρ
若知比重为d，则ρ=1000d；
如：d笨=0.88，则ρ苯=880kg/m3
b.液体混合物的密度ρm
若某种液体是由N种不同的液体混合而成，其密度ρm可由下式计算：
1/ρm=xA/ρA
+ xB/ρB +……+ xN/ρN (2--2)
式中： xA、xB、……xN-----各组分的质量分率。
ρA、ρB、……ρN------各组分的密度。
例2-1：已知20°C时水、甘油的密度分别为998kg/m3、1260kg/m3求50%甘油水溶液的密度。
解：1/ρm=0.5/998 + 0.5/1260
ρm=1114kg/m3
气体的密度：
a.纯气体的密度ρ
在气体的温度不太低，压力不太高的情况下，气体的密度可按理想气体状态方程式计算：
ρ= PM/RT （2--3）
式中：M-----气体分子量；
P-----气体的绝对压强；
T-----气体的绝对温度；
R-----气体常数，8.314kJ/kmol·K
b.气体混合物的密度ρm
气体混合物的密度ρm的计算与纯气体的密度计算式类似，只不过将M改为Mm即可，而Mm为平均分子量，即
ρm=PMm/RT （2--4）
而 Mm=MAYA+MBYB+……+MNYN
式中：MA、MB、……MN----各组分的分子量；
YA、YB、……YN-----各组分的摩尔分率；
2.流体的静压强
流体垂直作用于单位面积上的压力，称谓流体的静压强，其数学表达式为：
P=F/A
（2--5）
式中：P-----流体的压强，N/m2或Pa；
A-----作用面的面积，m2；
F-----面积A上的作用力，N；
在工业生产上，有时把压强也称为压力，请予以注意。
流体的压强除了以SI制表示之外，即N/m2和Pa ,还常用流体柱（液柱）来表示。如标准大气压为760毫米汞柱,它是根据流体的压强在数值上等于该液体柱作用于它的底部单位面积上的流体重力而导出的。
设流体的密度为ρ，流体柱的高度为 h,液体底部面积为A，则作用于底部的流体柱的重力为ρgAh，于是压强：
P=（ρgAh）/A=ρgh
或 h=P/ρg
对于确定的流体，ρg是常数，因此可以用液柱的高度h表示压强。在用流体柱的高度表示压强时一定要注明是那种流体。
在科学研究和工程上，经常用到标准大气压和工程大气压，它们与常见的压强单位换算关系如下：
1atm=101325Pa=760mmHg柱=10.33mH2O柱。
1at=1kgf/cm2=9.81×104Pa=735.6mmHg柱=10mH2O柱。
流体压强P除采用不同的单位来计量外还可根据不同的情况，用不同的方法来表示，现分别介绍于后。
绝对压，或称为真实压，是以绝对零压为起点计算的压强。或真空为起点计算的压强。本课程中所有公式、方程中所指的压强，均为绝对压强，简称绝压。
表压强，简称表压，是指以当时当地大气压为起点计算的压强。当所测量的系统的压强等于当时当地的大气压时，压强表的指针指零。即表压为零，如图2-2所示
图2-2弹簧管压强表
真空度，当被测量的系统的绝对压强小于当时当地的大气压时，当时当地的大气压与系统绝对压之差，称为真空度。此时所用的测压仪表称为真空表。
绝对压、表压、真空度之间的关系如图2-3所示。
图2-3 绝对压、表压和真空度的关系
A-测压点压强小于当时大气压
B-测压点压强大于当时大气压
由图可知：
系统P>大气压时 绝对压=大气压+表压
系统P<大气压时 绝对压=大气压-真空度
例2-2：在兰州操作的乙烯真空蒸馏塔顶的真空表的读数为8.2*104Pa。在成都操作时，若要求塔内维持相同的绝对压强，其真空表的读数应为多少？
（在兰州地区的平均大气压为8.5×104Pa，成都为9.6×104Pa）
解：根据已知条件，兰州地区操作的塔顶的绝对压强为
绝压=大气压-真空度
=8.5×104-8.2×104
=0.3×104Pa
在成都操作时，要求塔内维持相同的绝压，但成都的大气压强与兰州不同，则塔顶的真空度也不相同，其值为：
真空度=大气压-绝对压
=9.6×104-0.3×104
=9.3×104Pa
3.流体的粘度
粘性与粘度
流体具有流动性，即没有固定形状，在外力作用下，其内部产生相对运动。另一方面在运动状态下，流体还有一种抗拒内部运动的特性，称为粘性。粘性是流动性的反面，流体的粘性越大，其流动性就越小，例如，从相同的桶的桶底把一桶油放完比把一桶水放完要慢得多，其原因就是油的粘性比水大，流动的内摩擦力大，因而流动阻力也大，故流动慢。
衡量流体粘性大小的物理量称为粘度，以符号μ表示。为了明确粘度的物理意义，可用图2-4来说明。设流体在圆管内流动由于流体对圆管壁面的附着力作用，在壁面上会粘附一层静止的流体膜层，同时又由于流体内部分子间的吸引力和分子热运动，壁面上静止的流体膜对相邻流体层的流动产生阻滞作用，使它的流速变慢，这种作用力随着离壁面距离的增加而逐渐减弱，也就是说，离壁面越远，流体的流速越快。管中心处流速为最大。由于流体内部这种作用力的关系，液体在圆管内流动时，实际上是被分割成了无数的同心圆筒层，一层套着一层，各层以不同的速度向前运动，如图2-4所示，
图2-4 流体在圆管内分层流动与粘性定律的推导
由于各层速度不同，层与层之间发生了相对运动，速度快的流体层对与之相邻的速度较慢的流体层产生了一个拖动其向运动方向前进的力，而同时运动较慢的流体层对相邻的速度快的流体层也作用着一个大小相等、方向相反的力，从而阻碍较快的流体层向前运动。这种运动着的流体内部相邻两流体层间的相互作用力，称为流体的内摩擦力，是流体粘性的表现，所以又称为粘滞力或粘性摩擦力。
牛顿粘性定律
假设从流动的流体中取出相邻的两层流体，设其面积为A，上层流体的速度为u+du，下层的流体速度为u,它们的相对速度即为du。两流体层之间的垂直距离为dy。可由证明：对大多数流体，两流体层之间的内摩擦力F与层间的接触面积A，相对速度du成正比，与两流体层间的垂直距离dy成反比。即：
| F∝ |  |
(2-5) |
若把上式写成等式，就需要引进一个比例系数μ，即：
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(2-6) |
这种内磨擦力通常以每单位面积上的力来计算，即力学中所谓的剪应力，用符号τ表示。剪应力τ由式2-6可写成：
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（2-7） |
式中：τ表示单位面积上的内摩擦力，称为内摩擦应力或剪应力，N/m2；du/dy表示垂直于流体流动方向的速度变化率，称为速度梯度，1/s；比例系数μ称为粘性系数，或称动力粘度，简称粘度。式（2-6）所显示的关系称为牛顿粘性定律。服从此定律的流体称为牛顿型流体。
所有气体和大多数液体都属于这一类，不服从牛顿粘性定律的称为非牛顿型流体。如某些高分子溶液，胶体溶液、泥浆都属于这一类。本章只限于对牛顿型流体进行讨论。
从式（2-6）可以看出，若取A=1m2，du/dy=1s-1.则数值上μ=F。由此可表明粘度的物理意义为：速度梯度为1时，在单位接触面积上，由流体的粘性所引起的内摩擦力的大小。显然，若流动条件相同，粘度越大的流体产生的内摩擦力也越大，即流体的阻力也越大。
粘度的单位：
从式（2-7）可得：
从以前的手册中查得的粘度数据，大多是用物理单位制表示的。在物理单位制中，粘度的单位为泊（P），而1泊（P）=100厘泊（Cp)。在上述两种不同的单位制中，粘度单位的换算关系为：
1Cp=1.0×10-3Pa·S
流体的粘度均由实验测定。温度对流体的粘度有明显的影响，气体的粘度随温度的升高而增大，液体的粘度随着温度的升高而降低。压力对于液体粘度的影响可忽略不计，对气体粘度的影响一般也可忽略不计，只在极高或极低的压力下才需考虑压力的影响。
对于流体的混合物的粘度，一般也采用实测的方法确定。
4.流体的比容
单位质量流体的体积，称为流体的比容，数学表达式为：
υ=V/M （2-8）
式中：υ----液体的比容，m3/kg；
M-----流体的质量，kg；
V-----流体的体积，m3
显然，流体的比容是其密度的倒数，即：υ=1/ρ
由于前面对流体的密度进行了较为详细的讨论，因此流体的比容勿用多叙。
例2-3：求干空气在真空度为440mmHg柱，温度为-40°C时的密度和比容（当时当地大气压为750mmHg柱）。
解：空气的平均分子量，以79%的氮和21%的氧计算为：
Mm=28×0.79+32×0.21=28.84
空气的绝对压强：P=750-440=310mmHg柱
换为SI制：P=310/760×101325≈41.3KPa
T=273-40=233K
ρm=PMm/RT =(41.3×28.84)/(8.316×233)≈0.614kg/m3
υ=1/ρm ≈1.63m3/kg
二、流体静力学基本方程式
流体静力学方程，是反映流体相对静止时，在重力和压力作用下处于平衡状态的规律。流体静力学方程式，可通过下面的方法推导而得。
在一静止液体内，任取一段垂直液柱，如图2-5所示。
图2-5
此液柱的底面积为A，流体柱的高为h，液体的密度为ρ，体积为V，质量为m，液柱的顶面与底面与基准水平面（这里选取容器的底面为基准面）的垂直距离分别为z1和z2。
现分析液柱受力情况：
作用于液柱上面的压力=P1A
液柱自身的重力= mg=vρg=A(z1-z2)ρg
作用于液柱下底面的压力=P2A
液柱处于平衡状态时，在垂直方向上各力的代数和为零，即：
P1A+ A(z1-z2)ρg-P2A=0
以ρA除上式的各项，并整理得：
gz1 + P1/ρ = gz2 + P2/ρ
或P2 = P1 + (z1-z2)ρg （2-9）
如果将液柱的上底面取在容器的液面上，设液面上方的压强为P0而液柱下底面的压强为P，液柱的高度为h,则式（2-9）可改写为：
P= P0 + ρgh (2-10)
式中：P-----离液面距离为h处的压强，Pa；
P0------液面上方的压强，Pa；
ρ------液体的密度， kg/m3；
h-------距液面的垂直高度，m；
式（2-9）、（2-10）称为流体静力学基本方程式。
为了加深对流体静力学方程式的理解和认识对（2-10）式讨论如下：
1、在静止流体内，任一点的压强P的大小与该点的深度h有关，深度h越大，压强P越大；
2、当液面压强P0有变化时，必将引起液体内各点压强发生同样大小的变化，这就是巴斯噶定律。根据这一定律，作用在器内液体上的压强，能以同样大小传递到液体内其它任何一点的各个方向；
3 在静止的连通的同一液体内，处于同一水平面上的各点的压强都相等，该水平面称为等压面；
4、将（2-10）式移项可得：
上式说明，压强（当 P0=0时）或压差可用一定高度的液体柱表示，这与前面所述的压强的表示方式是一致的。
三、流体静力学基本方程式的应用
1、压强与压强差的测量 U形管压强计
在化工生产中测量压强和压强差的仪表很多，现仅介绍以流体静力学基本方程式为依据的测压仪器，这种仪器统称液柱压强计，其中最常用的是U形管压强计。
U形管压强计（或称为压差计），是由一根透明的U形管构成。管中盛有选定的指示液，指示液的密度须大于被测流体的密度。与被测流体不起化学作用且不互溶。如图2-6所示：
图2-6 U管压差计测压强差
测压时，将U形管的两端分别连接在被测系统的两点上，若这两点的压强分别为P1和P2(图中P1>P2),由于P1和P2不等，当测量达稳定时，U形管两侧指示液液面的高度也不相同，其差值R即为压强的读数。U形管压强计的计算公式推导如下：
在U形管压强计内取A、A′两点，这两点是连通的，静止的在同一流体内，又在同一水平面上，因而这两点的压强相等，则：
PA=P1+(Z+R)ρg
P′A=P2+Zρg+Rρ0g
因PA=P′A 故
P1-P2=（P0-ρ）gR (2-11)
式（2-11）即为U形管压差计的计算公式，其中ρ0为指示液的密度，ρ为被测流体的密度。
2、液位的测量 液位计
化工生产中为了了解容器里物料的贮存量，需要使用液位计进行液位的测量。液位计的形式很多，下面介绍一种根据静止液体内部压强变化规律设计的液位计。这种液位计是在容器的底部及顶部器壁上各开一个小孔，两小孔间用玻璃管相连，如图2-7所示。
图2-7
由于玻璃管和容器相通，因此，A，B两天是在静止的同一流体内，并且在同一水平面上，故A点和B点的压强相等，即：
pA=pB
由流体静力学基本方程得：
pA=p1+ρgh1
pB=p2+ρgh2
由此得： p1+ρgh1=p2+ρgh2
因玻璃管上部与容器相通，故
p1=p2 因此 h1=h2 即玻璃管内的液位与容器内液位等高。
3、液封 液封高度的计算
液封，也称水封，是一种利用液体的静压来封闭气体的装置。液封在生产中应用很广，如在贮气柜或气体洗涤塔下面防止气体泄漏起密封作用，或在压力设备上防止超压起泄压作用，或者防止气体倒流起止逆作用等。各种液封的作用不同，但设计原理是相同的，都是根据液体静力学原理来确定所需的液封高度。图2-8是乙炔发生器外的安全水封装置，当器内压强超过规定值时，气体便由管2通过水封排出，达到泄压目的。
图2-8 乙炔发生器水封
1、乙炔发生器；2-水封管；3、水封糟
如已知乙炔发生器内最大压强为p根据式p=pa+ρgh
即水封高度为：h=(p-pa)/ρ水g
但为了安全起见，h应略小于(p-pa)/ρ水g.