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第三节
流体流动的基本规律
在化工生产中，流体常在管内或设备内流动，本节主要讨论流体在管内流动的基本规律及其有关的问题。
一、流量与流速
流量和流速是流体在流动过程中十分重要的两个流动参数。分别介绍如下：
1、流量 单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。一般有体积流量和质量流量两种表示方法。
体积流量：单位时间内流过管道任一截面的流体体积，以符号V表示，单位为m3/s
质量流量：单位时间内流过管道任一截面的流体质量，以符号w表示，单位为kg/s.
2、流速 单位时间内流体的质点在流动方向上流过的距离称为流速，以符号u表示，单位为m/s。粘性流体在管内流动时，任一截面上各点的流速沿管径而变化，管中心处流速最大，越靠近管壁，流速越小，在管壁处流速为零。为计算方便，通常所说的流速是指整个管道截面的平均流速，其表达式为：
u=V/A
(2-12)
式中： A-----与流动方向垂直的管道截面积，m2；
V-----此截面的体积流量，m3/s；
3、质量流量w,体积流量V，平均流速间的关系。
质量流量与体积流量之间的关系为：
w=Vρ
(2-13)
而 u=V/A 即 V=uA 代入（2-13）有
w=Vρ=Auρ
(2-14)
(2-14)即w、V、u之间的关系，它是流体流动的计算中常用的关系式之一。
4、管径的选择
工程上输送流体的管道，大多为圆管，设圆管的内径为d，刚管道的截面积为 A=（π/4）d2(今后除特别指明之外，均指内径），代入式（2-12），得：
| d= |  |
= |  |
(2-15)
|
式中：d-----管道内径， m；
V------流体体积流量，m3/s；
u------流体在管道内的流速，m/s；
根据流量和流速，可用式（2-15）算得管道内径，其中流量通常是为生产任务所决定，所以关键在于选择合适的流速。由式（2-15）可知，当流量V一定时，流速u越大，管径d越小，设备费用可减小，但此时流体流速相应增大，其在管道中流动阻力也越大，使操作费用（动力消耗）增加。反之，流速减小，阻力降低，操作费用减少，但管径增大，设备费用增加。设计管道时，尤其是输送距离较长时，需要综合考虑这两个相互矛盾的因素，确定适宜的流速，使操作费用与设备费用之和为最低。表2-1列出了某些流体常用流速范围：
表2-1 流体在管道中的常用流速范围
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流体种类及状况
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常用流速范围m/s
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流体种类及状况
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常用流速范围m/s
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水及一般液体
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1～3
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压力较高的气体
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15～25
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粘度较大的液体
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0.5～1
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8大气压以下饱和水蒸汽
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40～60
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低压气体
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8～15
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3大气压以下饱和水蒸气
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20～40
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易燃、易爆的低压气体（如乙炔等）
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<8
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过热水蒸汽
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30～50
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由表可见，流体在管道中的适宜流速与流体的性质及操作条件有关。在管径的选择时，先根据情况选定流速u，再经式（2-15）算出d
后，从有关手册或本书附录中选用标准管的规格，举例如下。
例2-4：拟用一台水泵将水池中的水输送至一高位槽内，输送量为1000kg/hr，ρ水为1000kg/m3。试确定输水管的规格。
解：水的质量流量为
w=1000/3600=2.78kg/s
据式（2-13），可得：
V=w/ρ=2.78/1000=2.78×10-3m3/s
选定u=2m/s,将上面数据代入式（2-15），有
| d= | |
= |  |
=0.042m=42mm |
| 查附录中管子规格，选用内径为 |  |
普通水煤气管，其内径为 |
d=48-3.5×2=41mm
在后面的课程中，管子的规格还常以下面的形式给出，
例如：φ108×4这是工程上的表示形式,其中φ108表示管子的外径为108mm，4表示管子的壁厚为4mm，故该管子的内径d为：
d=108-4×2=100mm
二、流体稳定流动时的物料衡算
图2-9 流体流动的连续性
图2-9是流体从小管经锥度管流向大管的情形。当流体在这样的管路中作稳定流动时，根据质量守恒定律，在管路没有泄漏的情况下，应用物料衡算的知识，单位时间通过导管各截面的流体的质量应相等，即：
w1=w2=w3
(2-16)
根据式（2-14），上式也可写为：
A1u1ρ1=A2u2ρ2=A3u3ρ3
(2-17)
其中：A1、A2、A3，u1、u2、u3，ρ1、ρ2、ρ3
分别为1-1，2-2，3-3截面积流体的流速和密度。
对不可压缩流体，ρ为常数，（2-17）式则可等为：
A1u1=A2u2=A3u3
（2-18）
由于本课程所涉及的流体绝大多数为不可压缩流体，故
式（2-18）在本课程中较为常用。
式（2-16），（2-17），（2-18）均称为流体流动的连续性方程。
| 例2-5 水泵汲入管为3"，压出管为 |  |
汲入管的流速为1.2m/s。试 |
求压出管中水的流速。
解：3"的外径为88.5mm,壁厚4mm； |
|
管的外径为75.5mm, 壁厚3.75mm |
故：
d1=88.5-2×4=80.5mm
d2=75.5-2×3.75=68mm
对圆管，因为 A1u1=A2u2
故 u2=(80.5/68)2×1.2=1.68m/s
三、流体稳定流动时的能量衡算
1、流体流动时的能量形式
物质都具有一定的能量。流体稳定流动时具有的总能量包含两大部分，即机械能和内能。本章主要讨论流体的机械能。机械能分为位能，动能和静压能三种形式，现分别介绍如下。
a、位能 液体在重力的作用下，因其位置距离基准面有一定的高度而具有的能量。设有M公斤流体，距基准面为Z米，则流体所具有的位能E位=MgZ(J)
b、动能 流体流动时因有一定的流速所具有的能量称为动能。设有M(kg)流体，流速为u(m/s),则流体的动能E动=(1/2)Mu2(J)。
c、静压能 在静止或流动流体的内部，都有静压强存在。流体因有一定的压强而具有的能量，称为静压能或动能。根据物理化学知识，静压能等于压强和体积的乘积。即：E压=PV(J）,其中P、V分别为流体的压强和体积。
2、理想流体稳定流动时的机械能衡算 理想流体的柏努利方程
图2-10 理想流体稳定流动时机械能衡算方程的推导
图2-10为一简单的流动系统。液体从下端进入，通过导管从上方排出。选择两个截面1-1面和2-2面。1-1面上流体的流速、密度、压强分别为u1、ρ1、P1，而2-2面上流体的流速、密度、压强分别为u2、ρ2、P2。1-1面和2-2面（管中心）离基准面的垂直距离分别为Z1和Z2。为使进一步掌握物料、能量衡算的方法，下面对此条件下流体机械能作稍详细的衡算。
衡算对象：机械能
衡算范围：1-1面、2-2面与壁面所围成的封闭区域
衡算基准：1kg质量的流体， 0-0面为基准面。
1-1面（进）
2-2面（出）
因为M=1kg E位=MgZ=gZ1(J) gZ2
E动=(1/2)Mu2=(1/2)Mu12(J)
(1/2)Mu22
E压=PV=P1V1=P1v1=P1/ρ1
P2/ρ2
(1kg流体的体积即为比容v,v=1/ρ)
稳定流动时
流入衡算范围的机械能=流出该范围的机械能
且流体为理想流体，流动过程中无摩擦阻力损失，故：
gZ1 + (1/2)u12 +
P1/ρ1 = gZ2 + (1/2)u22
+ P2/ρ2 （J/kg)
若流体为不可压缩流体，即ρ不变，则：
gZ1 + (1/2)u12 +
P1/ρ = gZ2 + (1/2)u22 + P2/ρ
(J/kg) (2-19)
式（2-19）称无外功输入时不可压缩流体的机械能衡算方程，也称为此条件下的柏努利方程。
3、实际流体稳定流动时的机械能衡算
由于在生产中的流体都是实际流体，故式（2-19）仅仅是为实际流体的机械能的衡算作好先行。实际流体流动时，还有两项能量应予考虑，一项是因实际流体存在各种流动阻力而损耗的能量，以∑hf来表示，单位为J/kg,另一项是因输送机械提供的外功而增加的能量，以U表示，单位为J/kg,如图2-11所示。
图2-11实际流体稳定流动时能量衡算方程式的推导
1.泵
衡算对象仍为机械能，衡算范围同样是1-1面、2-2面及管壁面，但此时有流体输送机械---泵在内，单位质量的流体获得了U焦耳的能量，此项能量显然应加在进入方。此外，单位质量实际流体在流动中因各种流动阻力而损耗的机械能（转变成了内能）为∑hf
,此项能量当然应加在出的一方，故式（2-19）从理想流体转化为实际流体，应为：
gZ1 + (1/2)u12 + P1/ρ + U = gZ2
+ (1/2)u22 + P2/ρ +∑hf（J/kg)
(2-20)
式（2-20）为不可压缩的实际流体的机械能衡算方程，也称实际流体的柏努利方程，或单位质量流体的柏氏方程。
式（2-20）两边同时除以重力加速度g,得：
Z1 + (1/2g)u12 + P1/(ρg) + H =
Z2 + (1/2g)u22 + P2/(ρg) + Hf
(m液柱） （2-21）
式中：H=U/g
Hf=∑hf/g
式（2-21）称为单位重量流体的柏氏方程。它的单位如果仅仅从形式上看是m，而实际是m液柱，是能量的单位。它的意义是该项能量能够克服重力，把1公斤质量的该流体提升到该项能量数值所指的高度上去。例如，若P1/(ρg)=10（m液柱）,表示静压能能够把1公斤质量流体压送到10米的高度上去。其余可类推。
工业生产上把单位质量流体所具有的机械能称为压头。按照机械能的不同形式，称呼如下：
Z-----位压头，位压。
(1/2g)u2-----动压头，速度头，动压
P/(ρg)-----静压头，静压
H-----泵压头，扬程，泵压
Hf -----压头损失，摩擦头
位压、动压、静压、泵压之和称为总压头。
柏努利方程的讨论
实际流体的柏氏方程在解决流体流动的问题中十分重要，为了对它作深入的认识，特讨论如下：
a、式（2-21）表示总压头为定值，各种压头相互转化；
b、流动时必有Hf ，且Hf 总为正值；
c、若流体是静止的，即u=0，且H=0,则Hf =0
那么式（2-20）可等成：
gZ1 + P1/ρ = gZ2
+ P2/ρ 或 P2 = P1 + ρg（Z1-Z2）
这就是流体静力学基本方程。可见，流体静力学基本方程只是柏氏方程的一种特殊情况。
d、泵压头常与流体输送机械的有效功率有关。设流体输送机械的有效功率为Ne，单位是W（瓦），根据功率的定义有：
Ne=功/单位时间=流体获得的能量/单位时间=M×U/τ = w×U = wgH(W) (2-22)
其中M为输送流体的质量
设实际功率（轴功）为Na，机械效率为η,
则:Na=Ne/η (2-23)
4、柏氏方程的应用
应用柏氏方程和连续性方程,可解决流体输送过程中的问题,特举例如下:
a.容器间相对位置的确定(求Z1和Z2)
例2-6 如本例附图所示,利用高位槽将料液加入一常压操作的塔内,管道直径为φ56×3mm需要的加料量为8m3/h,设液体的流动阻力损失为30J/kg。料液比重为0.856，设高位槽内液面高度保持不变。试求高位槽液面相对于管道出口的高度Z。
例2-6图 附图
解：取上、下游截面1-1、2-2，并设基准水平面过截面2-2的中心。列柏努利方程式：
gZ1 + (1/2)u12 +
P1/ρ = gZ2 + (1/2)u22 + P2/ρ
+ ∑hf
式中：Z1=Z，Z2=0，P1=P2，u1=0，∑hf=30J/kg
b、管道中流体流量的确定（求u1或u2，再求V或W）
例2-7 水平通风管道某处直径自300mm渐缩至200mm，为了粗略估计其中空气的流量，在锥形接管两端各引出一个测压口与U形管压差计相连，用水作指示液测得读数R为40mm。设空气流过锥形管的阻力可忽略，求空气的体积流量。空气的温度为20℃，当地大气压强为760mm汞柱。
例2-7图 附图
解：通风管内空气温度不变，压强变化很小，只有40mm水柱，可按不可压缩流体处理。
以管道中心线作基准水平面，在截面1-1′与2-2′之间列柏氏方程，则Z1=Z2；由于两截面间无外功加入故U=0；能量损失忽略不计，则∑hf=0；故柏氏方程简化为：
（P1-P2）可由U形管压差计读数求取。
（P1-P2）=ρ0gR=1000×9.81×0.04=392.4N/m2
取空气平均摩尔质量为29kg/Kmol,根据气体方程式，空气的平均密度为：ρ =PM/RT=(101.3×29)/(8.314×293)=1.21kg/m3
所以 （u22-u12）=2（P1-P2）/ρ=2×392.4/1.21=649（m/s)2
(1)
由连续性方程，u1A1=u2A2,即：
u2=u1(A1/A2)=u(d1/d2)2=u1(0.3/0.2)2
u2=2.25u1
(2)
将（2）代（1）得：（2.25u1)2-u12=649 解得：u1=12.6m/s
空气的体积流量为：
V=（π/4）d12u1=（π/4）×0.32×12.6=0.89m3/s
c、流体压强的确定（P1或P2）
例2-8 某车间用压缩空气来压送98%的浓硫酸，从底层硫酸贮存罐压至三楼计量罐内，如图所示,贮罐液面与出口管管口相距15米。每批压送量为300升，要求10分钟内压完，ρ硫酸=1830kg/m3。设阻力损失为7.85J/kg,管径为φ38*3。试求压缩空气的最低压强。
例2-8图 附图
解：取硫酸贮存罐液面为1-1截面，硫酸出口管为2-2截面，取1-1为基准水平面，在两截面间列柏氏方程：
gZ1 + (1/2)u12 +
P1/ρ = gZ2 + (1/2)u22 + P2/ρ
+ ∑hf
据题意：Z2-Z1=15m
u1≈0 (实际压送过程中因液面下降很小，可忽略不计）
∑hf=7.85J/kg
因计量罐通大气，以表压为基准时P2=0.
代入上式得：
P1/ρ=15×9.81+u22/2+7.85 (1)
再求硫酸在管中的流速u2:
V=Au2=0.785×d2u2
d=38-2×3=32mm=0.032m
V=300升/10分钟=0.3/（10×60）m3/s
故
而 ρ硫酸=1830kg/m3
将 u2、ρ硫酸之值代入（1）式：
P1/1830=15×9.81+0.6232/2+7.85
解得：P1=284005Pa(表压）
d、液体输送机械功率的确定（先求V或H、再求Ne或Na)
例2-9 某化工厂用泵将碱液输送至吸收塔顶，经喷嘴喷出，如附图所示。泵的进口管为φ108×4.5mm的钢管，碱液在进口管中的流速为1.5m/s,出口管为
φ76×2.5mm的钢管，贮液池中碱液的深度为1.5m，池底至塔顶喷嘴上方入口处的垂直距离为20m，碱液经管系的摩擦损失为30J/kg,碱液进喷嘴处的压力为0.3at(表压）,碱液的密度为1100kg/m3。设泵的效率为65%，试求泵所需的功率Na.
例2-9图 附图
解：取碱液池的液面1-1为基准面，以塔顶喷嘴上方入口处的管口为2-2截面，在1-1与2-2截面间列柏努利方程
（A）
已知 Z1=0 Z2=20-1.5=18.5
因贮液池面较管道截面大得多，u1≈0,碱液在进口管中的速度u=1.5m/s则碱液在出口管中流速按连续性方程：u2=u(A/A2)=u(d/d2)2
碱液进口管内径 d=108-4.5×2=99mm
碱液出口管内径 d2=76-2.5×2=71mm
则 u2=1.5（99/71)2=2.92m/s
又知 ρ=1100kg/m3
P1=1×9.807×104N/m2
P2=(1+0.3)9.807×104N/m2
∑hf=30J/kg
将以上各值代入式（A）得输送碱液所需的外加能量
=181.5+26.7+4.27+30=242.4J/kg
碱液的质量流量:
w=(π/4)d2·u·ρ=0.785(99/1000)2×1.5×1100=11.55kg/s
泵的效率为65%，则此泵的功率为：
Na=Uw/η=242.4×11.55/0.60=4.31kw
柏氏方程应用注意事项：
通过以上各例，对应用柏氏方程解题的步骤已经有所了解。其一般步骤为：（1）选取截面以确定机械能衡算范围；（2）选择基准面以确定位能；（3）列柏氏方程；（4）解柏氏方程；
应用柏氏方程解决实际问题时，需注意下面几点：
a、作图 首先根据问题的内容或题意画出示意图，注明有关参数，指出流动方向使问题直观化。
b、选截面 根据解题要求，在上述连续流动的系统中选取两个截面，以确定衡算范围。两截面应与流体流动方向垂直，且在已知条件最多的面上，还要包含所求的未知量。若计算泵的功率时，截面应选在泵的吸入口和压出口。
c、选基准水平面 基准水平面可任意选取，但通常将它与一个截面（或截面中心线）重合，这样，计算起来比较方便。
d、 注意单位 方程式中各物理量的单位应统一使用SI单位。其中压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致，可用绝对压强，也可用表压，但必须统一。