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第四节
流体流动型态，液体流动的阻力计算
在应用柏氏方程解决问题的例子中，我们对机械能的损失∑hf一项，不是给出数值就是忽略不计。为了在实际工作中应用柏氏方程，必须解决流体流动的阻力计算。为了建立计算阻力损失的关系式，就必须分析引起机械能损失的内在因素，为此必须对流体流动过程中的内部质点的运动状况，即流体流动型态加以考察。本节主要讨论流体流动型态，流体流动阻力的产生，影响因素及其计算方法。
一、流体流动的型态 层流、过渡流、湍流
1、雷诺实验
1883年著名的雷诺实验，揭示出流体在管内流动时三种不同的型态。图2-12即为雷诺实验装置示意图。
图2-12 雷诺实验装置
如图2-12所示，在水箱B内装有溢流装置，以保持水位恒定。水箱下部装有水平玻璃管，用阀门A调节流量。玻管入口处插入一根细管，细管上方与装有有色液体的容器C相连。
实验时，在有溢流的情况下，微微打开阀A，使玻管中的水低速流动，然后打开阀D，把有色液体引入玻管中。此时可以观察到，有色液体成一直线平稳地流过整根玻管，与管内的水不相混合，如图2-13（A）所示。这说明管内流体质点是有规则的平行流动，质点之间互不干扰混杂，这种流动型态称为滞流或层流。
图2-13 流动型态示意图
在有色液体流动不变的情况下，调节阀A，增大水流速度，当流速增大到一定数值时，有色液体的流线出现不规则的波浪形，如图2-13（B)所示。若继续增大流速至某一临界值时，有色流线即会消失，此时整个下管内的水呈现均匀的颜色，如图2-13（C)所示。这说明流体质点除了沿管道向前运动外，还存在不规则的径向运动，质点间相互碰撞相互混杂，这种流动型态称为湍流或紊流。介于上述两种情况之间的流动状态称为过渡流。
2、流动型态的判据----雷诺数Re
不同的流型对流体中发生的动量、热量、质量的传递将产生不同的影响。为此，工程设计上需要能够事先断定流型。对流体在管内的流动的实验表明：流动的几何尺寸（管内径d）、流动的平均流速u及流体性质（密度ρ和粘度μ）对流型的变化有很大影响。英国物理学家雷诺发现，可以将这些影响因素综合成一个无因次的数群d·u·ρ/μ作为流型的判据。此数群被称为雷诺准数或雷诺数，以符号Re表示：即： Re=d·u·ρ/μ
(2-24)
雷诺准数的因次为：（因次可理解为单位，“[ ]”表因次）
无因次即因次为零，说得直接一点就是没有单位，是一个数。
凡是几个有内在联系的物理量按无因次条件组合起来的数群，称为准数，这种组合并非是任意拼凑的，一般都是在大量实验的基础上，对影响某一现象或过程的各种因素有了一定认识之后，再用物理分析或数学推演或二考相结合的方法定出来的。这既反映所包含的各物理量的内在联系，又能说明某一现象或过程的本质。雷诺准数即是如此，它可以判断流体的流动型态。
大量的实验结果表明，流体在直管内流动时：
| { | ≤2000 层流(滞流) | |
| Re= | 2000～4000 过渡流 | |
| ≥4000 湍流 |
应该指出，在2×103
< Re < 4×104时，可能是层流，也可能是湍流，是一种不稳定的状态，属于过渡流。
雷诺数Re的大小，除了作为判别流体流动形态的依据，它还反映了流动中液体质点湍动的程度。Re值越大，表示流体内部质点湍动的越厉害，质点在流动时的碰撞与混合越剧烈，内摩擦也越大，因此流体流动的阻力也越大。在实际生产中，除了输送某些粘度很大的流体外，为了提高流体的输送量或传热传质速率，流体的流动形态一般都要求处在湍流的情况。Re值差不多都大于104数量级。
例2-10 温度为338K的热水在直径为φ89×4的钢管中流动，如热水的体积流量为40m3/hr,试判断热水在管道中流动的型态。
解：要判断热水在管中的流动型态，需要求出该流动情况下的雷诺数。
d = 89 - 2×4
= 81mm = 0.081m
热水的流速u = V/A = (40/3600)/{(π/4)×0.0812}
= 2.16m/s
查得338K热水的密度ρ = 980kg/m3 ,粘度 μ = 0.4355×10
- 3 Pa·S
故 Re=dup/μ=(0.081×2.16×980)/(0.4355×10-3)
= 3.93×105
可见 Re > 4000,所以热水在管中的流动形态为湍流。
如果流体在非圆形管（如方形管）或非圆横截面的导管（如套管环隙）内流动，刚Re中的d应当以当量直径de代替，可参见教材中有关内容。
3、层流与湍流在圆管内的速度分布
由于流体本身的粘性以及管壁的影响，流体在圆管内流动时在管道的任意截面上，各点的速度沿管径而变。管壁处速度为零，离开管壁以后速度逐渐增加，到管中心处速度最大。任一截面上各点的流速和管径的函数关系称为速度分布。其分布规律因流型而异。
理论分析和实验测定都已表明，层流时，速度沿管径按抛物线的规律分布。如图2-14(a)所示。
图2-14 圆管内速度分布
| 截面上各点流速的平均值u为管中心最大流速的0.5倍，即 |  |
湍流时，由于质点运动的情况复杂，目前还不能用理论分析得出其速度分布规律，但经实验测定，湍流时圆管内的速度分布曲线如图2-14(b)所示。由图可以看出，截面上靠管中心部分质点速度比较均匀，速度曲线顶部区域就越平坦，但靠近壁处质点的速度骤然下降，曲线变化很陡，平均流速与管中心最大流速的比值随Re而变化，约为0.8倍左右，即u湍流=0.8umax。
二、流动边界层
流体的流动型态分为滞流和湍流两种，滞流时流动比较平稳，湍流时流动比较紊乱。实验发现，即使作湍流流动的流体，在靠近管壁区域仍作滞流流动，这个区域称为滞流内层。带流内层对流体的流动、传热、传质等问题具有很大影响，为了说明这个问题，需要讨论边界层概念。
先讨论流体流过平板时的情况。在平板的前缘，流体以匀速us流动，当流到平板壁面时，壁面上将粘附一层静止的流体层。与相邻流体层之间会产生内摩擦，使其流速减慢，这种减速作用会一层一层地向流体内部传递过去，形成一种速度分布，如图2-15所示。
从该图示可以看出，离壁面越近，流体减速越大，离壁面一定距离（y=δ)后，流体的流速接近us。这样，在δ距离内的流体层便产生了速度梯度。在壁面附近存在着较大速度梯度的流体层，称为流动界层，简称边界层。
应用边界层概念可将流体沿壁面的流动分成两个区域，存在显著速度梯度的边界层区和几乎没有速度梯度的主流区。在边界层区内，由于存在显著的速度梯度du/dy，即使粘度μ很小，也有较大的内摩擦应力τ，故流动时摩擦阻力很大。在主流区内，du/dy≈0,故τ≈0，因此，主流区内流体流动时摩擦阻力也趋近于零，可看成理想流体。
把流动流体分成两个区域这样一种流动模型，将粘性的影响限制在边界层内，可使实际流体的流动问题大为简化，并且可以用理想的方法加以解决。
边界层内流体的流动也可分为滞流和湍流，因而，相应地将边界层分为滞流边界层和湍流边界层。值得注意的是，在湍流边界层里，靠近壁面处仍有一薄层流体呈滞流流动，这就是前面讲到的滞流内层。
上面讨论是流体在平板上流过的情况，流体在圆形直管内流动时，边界层也有类似的情况。流体进入管口时，边界层很薄，随着流体的流动，边界层逐渐增厚，当边界层的厚度等于管道半径时，边界层就会在管道中心汇合，此后边界层就占满整个管道截面。当边界层在管中心汇合时，若边界层内流体呈滞流状态，其后整个管内的流动型态为滞流，否则即为湍流。管内呈湍流时，靠近管壁处仍有滞流内层存在，如图2-16所示：
图2-16 圆管入口段中边界层的发展
(A) 滞流边界层 (B)滞流与湍流边界层
流体在直径相同的直管内流动时，流动边界层是紧贴在壁面上。当流体流过曲面（如球面、圆柱体表面等）时，还会出现边界层脱离固体壁面流动现象，称为边界层分离。边界层脱离壁面以后，壁面上就会出现流体空白区，下游的流体会倒流回来，形成两股逆向流动的流体，产生漩涡。流体质点在漩涡中由于强烈的碰撞与混合而消耗能量，与此能量损失相应的阻力称为漩涡阻力。此阻力是由于固体壁面表面形状造成边界层分离而引起的，故称为形体阻力。
三、流体在圆管内流动时的阻力计算
1、流动阻力
流体在管路中流动时的阻力可分为直管阻力和局部阻力。直管阻力又称为沿程阻力，是流体在直管中流动时，由于流体的内摩擦而产生的能量损失。局部阻力是流体通过管路中的管件、阀门、突然扩大，突然缩小等局部障碍，引起边界层的分离，产生漩涡而造成的能量损失。图2-17为常见的管件与阀件。
（a）
（b）
图2-17 管件（a）与阀件（b）
流体的流动阻力（或称总阻力）为直管阻力hf与局部阻力h′f之和，即：
∑hf = hf + h′f （2-25）
其中hf为全部直管阻力之和，h′f为全部局部阻力之和。
流动阻力会引起流体的压强降低，若以△Pf表示1m3流体在水平直管中流动时由于流动阻力所消耗的能量，则：
△Pf = ρ∑hf = ρ(hf+h′f )
(2-26)
△Pf常称为因流动阻力而引起的压强降，单位为J/m3,因 J=N·m ,
故 J/m3 = N/m2 =
Pa.
结合前面所讲述的内容，单位流体在流动过程中的阻力可表为下面的三种形式：
单位质量流体的阻力 ∑hf J/kg
单位重量流体的阻力 Hf m液柱
单位体积流体的阻力 ρ∑hf J/m3 或 Pa
上述形式与柏氏方程中的阻力一项是一致的。
2、直管阻力的计算
为了计算流体流动的总阻力，这里先介绍直管阻力的计算，然后探讨局部阻力的计算。
流动阻力的大小与流体的性质，流体的流动型态、流体流过的距离、管路壁面情况及截面大小等因素有关，因而流动阻力的计算是十分复杂的，除对直管层流情况下作稍为详细的讨论外，其余情况仅作简单介绍。
a、层流流动时的直管阻力
层流是流体作一层滑过一层的流动，流动阻力主要是流体的内部摩擦力。流动时的阻力服从牛顿粘性定律式（2-6）。
F=μA du/dy
图2-18 滞流时的摩擦阻力
如图2-18所示，流体在水平圆管中流动时，在管中心至管壁的任一r处，取微分距离dr，管长度为l,则两层流体间滑动的接触面积A为2πrl。为克服摩擦阻力而使流体流动管两端必须有一定的压强差△P、流体所受的力即为：
F=△P·A。，A。为受力面积，等于当时管中流体层的横截面积，其时即为A。=πr2,摩擦阻力与所受的力大小相等而方向相反。
此时，式（2-6）中的F=-△P·A。=-△P·πr2,而此时的du/dy则为du/dr,将其代入式（2-6）有：
整理并积分，当R=0（管中心）时，u=umax,当R=R（管壁时），u=0
得到：
| ∫ | R | = | ∫ | O |
| -△Prdr | μ2ldu | |||
| O | umax |
△P·R2/2=2μlumax
因为 d=2R,层流时umax=2u，代入上式并整理，得：
△P=32μul/d2
恒等变形为：
也可写成：
 |
(Pa) (2-26) | |
| 式（2-26）除以ρ： | (J/kg) (2-27) | |
| 式（2-27）除以g: | (m液柱） （2-28） | |
| 令λ=64/Re： | ||
| 则（2-28）为 | （2-29） |
式（2-29）称为哈根公式（Hagen)，是计算直管层流时流体流动阻力的公式。在此公式中，l/d在化工上称为几何相似数而(u2/2g)为动压头，故哈根公式可写为：
Hf=摩擦系数×几何相似数×动压头
b、湍流流动时的直管阻力
湍流时，流体质点不规则地紊乱扰动并相互碰撞，既有粘性阻力，又有形体阻力，情况十分复杂，至今不能用理论推导的方法得到其计算阻力的公式，但根据多方面实验并进行适当的数据处理后得到如下与哈根公式相似的结果如下：
式（2-32）称为范宁公式（Fanning），公式中的λ也称为摩擦系数，与Re准数及管壁粗糙度有关,其数值由实验测定。目前还很难从理论上导出湍流摩擦系数λ的计算公式，只能根据有关函数关系通过实验得到一些经验或半经验公式用于计算。这里只介绍一个经验公式如下：对于光滑管（铜管、铅管、塑料管、玻管，其内表面很光滑，管壁粗糙度影响可忽略），当Re=3×103～1×105时，λ的关系式为：
λ= 0.3164/Re0.25 (2-33)
式（2-33）称为柏拉修斯（Blasius)公式。
关于摩擦系数与Re及粗糙度的关系，可参见教材中有关内容。
例2-11 20℃的甘油在1″管中以0.2m/s流速流动，求流过每米管长时的摩擦阻力。
解：20℃时甘油的粘度为1499厘泊，比重为1.26，1"管的规格为
φ33.5×3.25
。当流速为0.2m/s时，求得：
Re=duρ/μ=(0.027×0.2×1260)/(1499×10-3)=4.54
流动型态为层流，流过每米管长时的阻力损失为：据式（2-26）有：
3、局部阻力的计算
局部阻力损失的计算是一个十分复杂的问题。由于管件阀件种类繁多，规格各一，难以准确计算，通常采用下述几种近似方法。
a、阻力系数法
近似地认为局部阻力损失服从平方定律，即：
式中ζ----局部阻力系数，无因次，由实验测定。见表2-2
表2-2 局部阻力系数ζ
|
名称
|
ζ
|
名称
|
ζ
|
|
|
45。标准弯头
|
0.35
|
90。角阀
|
5
|
|
|
90。标准弯头
|
0.75
|
闸阀全开
|
0.17
|
|
|
180。回弯头
|
1.5
|
隔膜阀全开
|
2.3
|
|
|
活接头
|
0.4
|
旋塞20。
|
1.56
|
|
|
水表(盘形)
|
7
|
截止阀全开
|
6.4
|
|
|
底阀
|
2
|
截止阀1/2开
|
9.5
|
|
|
滤水器
|
2
|
单向阀(摇板式)
|
2
|
|
|
标准三通管
|
突然扩大
|
 |
1
|
|
 |
0.4
|
|||
 |
1.3
|
突然缩小
|
 |
0.5
|
 |
1.5
|
 |
0.05～0.25
|
|
 |
1.0
|
|||
b、当量长度法
近似地认为局部阻力损失相当于某个长度的直管阻力损失，即：
式中le称为管件或阀件的当量长度，单位是m，其值由实验测定，通常以其与管径的比值表示，见表2-3。
表2-3
各种管件、阀门、流量计的当量长度与管径之比
|
名称
|
le/d
|
名称
|
le/d
|
|
|
45。标准弯头
|
15
|
截止阀(球心阀)全开 |
300
|
|
|
90。标准弯头
|
30～40
|
角阀全开 |
145
|
|
| 90。方形弯头 |
60
|
闸阀全开 |
7
|
|
| 180。回弯头 |
50～75
|
单向阀(摇板式)全开 |
135
|
|
| 三通管,流向为(标准) |  |
40
|
带滤水器的底阀全开 |
420
|
|
60
|
盘式流量计(水表) |
400
|
|
 |
90
|
文氏流量计 |
12
|
|
| 转子流量计 |
200～300
|
|||
采用当量长度法的优点是便于将直管阻力与局部阻力合算起来计算部阻力。其公式为：
当d不变时，
c、估算法
对比较简单的管路，为简化计算，在计算出总的直管阻力的基础上，再加上直管阻力的10～50%作为总阻力，这需要在有经验时作出选择。
例2-12 用φ108*4的钢管输送原油，输送量19T/hr，d原=0.90,μ原=72Cp.原油从起点站油泵出口压力为61kg/cm3（表），终到处压力为1kg/cm3（表），若管子是水平安装的，局部阻力以直管阻力的10%计，试求原油输送的路程（输油管长度）是多少？
分析：由于输油管是水平安装的，因而整个输送过程的压强降即为总阻力：管子的规格知道即知管内径，又知原油质量流量和密度（由比重而得），因此管内流速可得。再计算雷诺数以判定流动型态后，摩擦系数λ即可求出。把上述结果代入式（2-38）即可。
例2-12附图
解：原油在管中的流速
u=w/(Aρ)=(1900/3600)/(0.785×0.12×900)=0.747m/s
由于 Re=duρ/μ=(0.1×0.747×900)/(72×10-3)=933
所以管内的流体流动型态为层流
因而摩擦系数λ＝64/Re=64/933=0.06854
据题意:∑le=l/10
代入式(2-38) : △Pf=λ·(l+∑le)/d · (u2ρ/2)
(61-1)×9.81×104=0.06854×(l+0.1l)/0.1
× (0.7472×900)/2
解得：l≈31×103m
即原油输送的路程约为31公里。